92.100kg의 균일한 원통(반지름 2m)이 그림과 같이 수평면 위를 미끄럼없이 구른다. 이 원통에 연결된 스프링의 탄성계수는 450N/m, 초기 변위 x(0)=0m 이며, 초기속도는 x(0)=2m/s 일 때 변위 x(t)를 시간의 함수로 옳게 표현헌 것은? (단, 스프링은 시작점에서는 늘어나지 않은 상태로 있다고 가정한다.)

해설

에너지 방법으로 운동방정식을 구합니다. d/dt (T+U)=0 K=450 N/m 맞습니다. T= 운동에너지, U= 위치에너지 (여기서는 스프링에 의한 탄성에너지) , w= 각속도, x= 변위 T= 0.5 mv^2 (병진)+ 0.5Jw^2 (회전), U= 0.5 kx^2 이고, 원의 질량 관성 모멘트 J=0.5 mr^2 이다. 각속도 w= v/r이므로 T+U= 0.5mv^2+ 0.25 mv^2 + 0.5 kx^2. 이고 v=x'이므로 이것을 시간 t에 대해 미분하면, d/dt(T+U) = (d/dx(T+U))*(dx/dt)=0 (에너지는 보존되므로) 이다. 따라서 에너지 방정식을 t에 대해 미분하면 운동방정식이 얻어진다. 미분 과정은 생략 하고 결과를 서술하면 x''= a (가속도) 1.5mx''^2 + kx=0 이다. 가진력이 존재하지 않는 응답의 해(제차해) 는 x=Asinwt 또는 x=Acoswt인데, t=0의 변위가 0이므로 x=Asinwt가 옳다. 이것을 시간에 대해 미분하면 x'=v=Awsin(wt)이고, 운동방정식에서 w^2= k/1.5m= 450/150=3, 이다. 또한 x(0)=2로 주어져 있으므로 Aw=2, A=2/sqrt(3) = 1.1547... 이다. 따라서, x=1.15sin(sqrt(3)t) . 정답 2번.