65.공정한 동전 두 개를 던지는 시행을 1,200회 하여 두 개 모두 뒷면이 나온 횟수를 X라고 할 때, P(285≤X≤315)의 값을 구하면? (단, Z~N(0, 1)일 때, P(Z<1)=0.84)

해설

시행의 결과는 다음의 두 가지로 나눌 수 있습니다. 1. 동전 두 개 모두 뒷면이 나오는 경우 2. 1이 아닌 모든 경우 (둘 중 한 개가 앞면이 나오는 경우 + 두 개 모두 앞면이 나오는 경우) 시행의 결과를 1과 2와 같이 이분법적으로 나눌 수 있기 때문에, 문제의 시행은 베르누이 시행입니다. 베르누이 시행을 반복적으로 시행해서 도출되는 확률변수 X는 이항분포를 따릅니다. → X ~ B (n, p) 이항분포의 모수 n은 시행횟수, p는 확률입니다. 시행 횟수는 1,200회이며 확률은 1/4(=0.25)입니다. 따라서 X~B(1,200, 0.25)라고 할 수 있습니다. np≥5, np(1-p)≥5 인 상황입니다. 이 조건을 만족시킬 경우 이항분포를 따르는 확률분포 X는 정규분포에 근사하게 됩니다. 즉, X~N(평균, 분산)이라고 할 수 있습니다. 정규분포를 따르는 확률변수 X의 모수는 이항분포의 평균, 분산을 구하는 식을 이용하여 구하면 됩니다. 즉, 평균 = 1,200 x 0.25 = 300 / 분산 = 1,200 x 0.25 x (1-0.25) = 225 따라서 X~N(300,225)라고 할 수 있습니다. 225는 15의 제곱이므로 표준편차는 15. 이후로는 표준화한 다음에 확률 구해주면 됩니다.