47.에서 ω가 아주 작을 때 즉, ω→0일 때의 위상각은?

해설

위상, 복소수의 계산 성질을 물어보는 문제. 1. 먼저, 분자 10(jw+5)의 w->0 일때 위상을 구하자면, 복소수 z = x+jy 일때 위상각 θ=tan−1(y/x) 이므로, θ=tan−1(0/5​) = 0 2. 다음으로 분모 jw(jw+1)(jw+2)의 위상을 구해자면, jw는 w->0일때 +90' 이다. 복소평면상에서 놓고 볼 때, 실수가 0이고 w>0이기 때문에, 양의 실수축을 기준으로 양의 허수축과의 이루는 각이 +90'이기 때문. 그런데 궁금하다, 왜 w->0- 는 고려하지 않는가? 보드선도에서 주파수를 정의할 때, 관습적으로 ω ≥ 0 라고 가정한다. 그래서 w -> 0- 는 고려하지 않은 것. 3. 그다음 jw+1, jw+2는 실수부가 1, 2기 때문에 w->0 인tan-1(y/x)에 의해 0 (만약 실수부 또한 0+에 수렴하는 값이었다면 90'일 수 있다) 4. 분모의 계산을 계속하자면, 복소수 곱셈의 성질을 알아야한다. 복소수는 항상 크기 magnitude와 위상 phase를 갖는다. 크기는 곱셈, 위상은 덧셈으로 계산해야한다. |G(jw)| 는 곱해진 항을 곱셈으로 계산해야하고 ∠G(jω) 는 곱해진 항을 덧셈으로 계산해야 한다. Thus, 분모는 ∠(jω)+∠(1/(jw+1)​+∠1/(jw+2)​ when w->0    = 90' + tan-1(0/1) + tan-1(0/2) = 90' + 0 + 0 = 90' 5. 전달함수 G(jw)는 주파수 응답을 나타내는 복소함수. 따라서 w가 주어지면 복소수값을 갖는다. 평면상 벡터라고도 할 수 있는 이 값은 크기와 위상으로 나누어지고, 문제는 이 위상을 구하라는 것. 복소수의 나누기는 뺼셈으로 구하는 특징이 있다. Thus, 1번에서 구한 0 - 2번에서 구한 90' = -90'